Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Pojęcie liczby jest jednym z najstarszych i najbadziej abstakcyjnych pojęć, jednak niewiedza na temat czym liczby są, nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać. Liczby naturalne można ustawić w ciąg nieskończony (po kolei jedna za drugą). Dysponując jedynką, łatwo jest otrzymać wszystkie inne liczby naturalne. Trzeba tylko cierpliwie dodawać. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem N. 

Zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszym zbiorem, spełniającym następujące warunki:
1.  0 ∈ N,
2.  Jeśli n ∈ N, to n + 1 ∈ N

Czy zero jest liczbą naturalną?
To zależy od definicji. Czasem matematycy przyjmują, że zero jest liczbą naturalną, a czasem zaczynają od jedynki. Przy określaniu kolejności jest obojętne, czy liczby naturalne będą się zaczynać od 0, 1, czy od jakiejkolwiek innej z liczb. Przy określaniu liczebności sensowne jest, żeby liczby naturalne zaczynały sie od zera, czyli od mocy zbioru pustego. Natomiast jako przedmiot badań teorii liczb, zero okazuje się wyjątkiem i do większości twierdzeń i definicji trzeba dodać zastrzeżenia, że coś jest różne albo większe od zera.

Ile jest liczb naturalnych?
Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele.

Postulaty Peano
Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych nie było proste i zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki, które definiują zbiór liczb naturalnych:
- istnieje liczba naturalna 0,
- każda liczba naturalna ma swój następnik,
- zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej,
- różne liczby naturalne mają różne następniki,
- jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej). 

Liczby całkowite

Próżno szukać wśród liczb naturalnych takiej, która jest wynikiem odejmowania liczby większej od mniejszej. Można oczywiście uznać, że takie działanie nie ma sensu. Taka była mniej więcej postawa uczonych w starożytnej Grecji.

Dziś liczby ujemne już nie gorszą. Są na skali termometrów i w bilansach księgowych. Wraz z liczbami naturalnymi (oraz zerem) tworzą zbiór liczb całkowitych rozciągający się od minus do plus nieskończoności. Zbiór liczb całkowitych można więc zdefiniować, jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera.

Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Zbiór liczb całkowitych jest najmniejszym podzbiorem zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, spełniający następujące warunki:
1.  0 ∈ Z,
2.  Jeśli c ∈ Z, to  c + 1 ∈ Z  i  c - 1 ∈ Z

Liczbami całkowitymi nazywamy więc wszystkie liczby naturalne, zero oraz wszystkie liczby przeciwne do naturalnych. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą Z lub C.

Liczby przeciwne
Liczbą przeciwną do liczby a jest liczba (-a)

Liczbą przeciwną do liczby dodatniej jest liczba ujemna, a liczbą przeciwną do liczby ujemnej jest liczba dodatnia. Liczbą przeciwną do zera jest zero.

Porównywanie liczb całkowitych
Porównując liczby całkowite należy pamiętać, że:
- liczba dodatnia jest zawsze większa od liczby ujemnej,
- z dwóch liczb ujemnych większa jest ta, która leży bliżej zera na osi liczbowej,
- liczba zero jest większa od każdej liczby ujemnej.

Liczby wymierne

Liczby całkowite to jeszcze nie wszystko. Pierwsze spotkanie z ułamkami następuje najczęściej w czasie urodzin, kiedy okazuje się, że trzeba się podzielić torcikiem. Wtedy to całość należy podzielić na pewne części. Jeśli części przy podziale są jednakowe, to możemy przedstawić je w postaci ułamka.
Liczby, które można zapisać w postaci ułamka (przy czym w liczniku są liczby całkowite, a w mianowniku - naturalne prócz zera), nazywa się liczbami wymiernymi.

Liczbę x nazywamy liczbą wymierną, gdy x=pq dla pewnych liczb całkowitych p i q, gdzie q ≠ 0.

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą Q. Każda liczba całkowita i każda liczba naturalna jest liczbą wymierną. W odróżnieniu od liczby całkowitej, liczba wymierna nie jest w zasadzie wielokrotnością jednostek. Wraz z liczbami wymiernymi pojęcie ilości ulega zmianie, przechodzimy od wyliczania do wymiaru.

Wzór ogólny: Q={ x:x=pq,  p∈Z,  q∈N }